追加申請・引き出し申請・コース変更申請の受付後、画面を閉じても大丈夫ですか？

はい。「受付が完了しました」と表示された後は、画面を閉じても問題ありません。
申請内容は、あとから取引履歴や「反映待ち」で確認できます。